Question

如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角的正弦值为．求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析;（2）．

【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理证出平面，从而得到、、两两垂直，因此以、、为轴、轴、轴，建立坐标系，得、、、、的坐标，进而得到、、的坐标，由数量积的坐标运算公式算出，，从而证出且，结合线面垂直判定定理证出平面，从而得到平面平面；（2）由（1）得平面的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线与平面所成的角的正弦值，由此建立关于的方程并解之即可得到．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出是平面平面的一个法向量，结合平面的法向量，算出的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角的平面角的余弦值.

试题解析：（1）∵平面平面，

平面平面，，

∴平面．

又∵，故可建立空间直角坐标系如图所示，

不妨设，，

则有，，，，

∴，，，

∴，，

∴，，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（2）由（1），平面的一个法向量是，，

设直线与平面所成的角为，

∴，解得，

∵，

∴，即．

设平面的一个法向量为，，，

由，，

∴，不妨令，则，

∴，

显然二面角的平面角是锐角，

∴二面角的余弦值为．

点睛：本题只要考查了空间向量在立体几何中的应用之证明面面垂直、二面角平面角的向量求法，难度中档；主要是通过直线的方向向量互相垂直即向量的数量积为0，得到线面垂直，由线面垂直得到面面垂直；直线的方向向量与平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，大多数情况下是根据图形判断该角的范围.