Question

如图，在几何体中，四边形是菱形， 平面, , .

（1）证明：平面平面.

（2）若二面角是直二面角，求与平面所成角的正切值。

Answer

（1）见解析;（2）

【解析】试题分析：(1)利用面面垂直的判定定理证明即可; (2)利用二面角是直二面角,求出菱形的边长,再求出与平面所成角的正切值.

试题解析：（1）证明：∵四边形是菱形，∴

∵平面∴

∴平面

∵平面∴平面⊥平面

（2）(向量）【解析】
以点为原点， 方向为轴， 方向为轴， 方向为轴建立空间直角坐标系，如图。做的中点，连接,因为平行且等于， .

所以四边形为平行四边形,

因为在中， ，所以，所以

设长为，则各点坐标为

； ； ；

所以； ；

设为面的法向量； 为面的法向量。

所以；

得

令得

同理得

因为二面角是直二面角，所以

得

由题可得： 为与平面所夹角

因为

所以

(几何）

∵四边形是菱形，∴

∴，∴

过作，连接，则为二面角的平面角

设菱形的边长为

∵, ，∴

在中， ，∴

∵二面角为直角，∴为直角

∴

在中， ，设，则

∴

与平面所成角为

∴