Question

如图，三棱柱中，各棱长均相等， ， ， 分别为棱， ， 的中点．

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）若三棱柱为直棱柱，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，借助运用线面平行的判定定理分析推证；（2）依据题设条件运用线面角的定义构造三角形进行求解或建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式探求：

（Ⅰ）证明：在三棱柱中， ，且，

连结，在中，因为， 分别为棱， 的中点，所以， ．

又为的中点，可得，所以， ，

因此四边形为平行四边形，所以，

又平面， 平面，

所以平面．

（Ⅱ）证明：由于底面是正三角形， 为的中点，

所以，

又，又，所以平面．

在平面内，过点作，交直线于，连结，

平面，由此得， 为直线与平面所成的角．

设三棱柱的棱长为，可得，由，所以，

在中， ，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

点睛：立体几何中的线面位置关系的推证与角度距离的计算不仅是高中数学的重要内容与知识点，也一直是高考重点考查的内容与考点之一。解答本题的第一问时，依据题设中提供的条件，运用线面平行的判定定理中的条件进行分析推断；第二问的求解，则是运用线面角的定义（该直线与它在平面内的射影之间的夹的锐角），构造三角形，然后解三角形使得问题获解。当然本题也可以建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式进行求解。