Question

已知函数， .

（Ⅰ）若和在有相同的单调区间，求的取值范围；

（Ⅱ）令（），若在定义域内有两个不同的极值点．

（i）求的取值范围；

（ii）设两个极值点分别为， ，证明： ．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）详见解析

【解析】【试题分析】（1）借助题设条件，运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（2）先依据题设条件将问题进行等价转化，再运用导数知识分析求【解析】

（Ⅰ）．函数的定义域为， ，

当时， ；当时， .

所以在上单调递减，在上单调递增．

若在上单调递减，在上单调递增，

则．

（Ⅱ）（i）依题意，函数的定义域为， ，

所以方程在有两个不同根．

即方程在有两个不同根，

转化为，函数与函数的图象在有两个不同交点，如图．

可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，

只需.

令切点，所以，又，所以，

解得，于是，所以.

（ii）由（i）可知， 分别是方程的两个根，

即， ，不妨设，作差得，即，

原不等式等价于，即，即，

令，则， ，即，

设， ， ，

∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，

故所证不等式成立．

点睛：本题以含参数的两个函数解析式为背景，设置了两道与函数的单调性、极值（最值）有关的问题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，充分借助导数与函数的单调性之间的关系，求出其单调区间；第二问的求解过程中，先将问题“方程在有两个不同根，转化为函数与函数的图象在有两个不同交点”，进行等价转化，再数形结合求出参数的取值范围；另一个不等式问题的证明则通过转化，然后再构造函数，运用导数知识求解。