选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程是
（
为参数）．
（Ⅰ）求直线
被曲线
截得的弦长；
（Ⅱ）从极点作曲线
的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．
已知函数
， 
.
（Ⅰ）若
和
在
有相同的单调区间，求
的取值范围；
（Ⅱ）令
（
），若
在定义域内有两个不同的极值点．
（i）求
的取值范围；
（ii）设两个极值点分别为
， 
，证明： 
．
已知椭圆
（
），以椭圆内一点
为中点作弦
，设线段
的中垂线与椭圆相交于
， 
两点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的
，使得
， 
， 
， 
在同一个圆上，并说明理由．
某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图：
（Ⅰ）求直方图中
的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值
服从正态分布
，试计算数据落在
上的概率．
参考数据：若
，则
， 
．
（Ⅲ）设生产成本为
，质量指标为
，生产成本与质量指标之间满足函数关系
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．
如图，三棱柱
中，各棱长均相等， 
， 
， 
分别为棱
， 
， 
的中点．
（Ⅰ）证明： 
平面
；
（Ⅱ）若三棱柱
为直棱柱，求直线
与平面
所成角的正弦值．
已知数列
前
项和为
， 
，且满足
（
）．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）若
，设数列
前
项和为
，求证： 
．
