Question

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面， 垂直于和， ， ， 是棱的中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是直线上的动点， 与平面所成的角为，求的最大值．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】 试题分析：（1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，由，即可证明平面；

（2）易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角为，求得，即可求得平面与平面所成的二面角的余弦值．

（3）设，则，平面的一个法向量为，取得的表达式，利用二次函数的性质，即可求解的最大值．

试题解析：

（Ⅰ）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ，

∴， ， ，

设平面的一个法向量为，

则∴令，得．

∵，

∴，∴平面．

（Ⅱ）易知平面的一个法向量为 ，设平面与平面所成的二面角为，

易知，则，∴，

所以平面与平面所成的二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设，则，易知平面的一个法向量为，

∴，

当，即时， 取得最大值，且．