Question

已知椭圆：的右焦点为，且点在椭圆上．

⑴求椭圆的标准方程；

⑵已知动直线过点且与椭圆交于两点．试问轴上是否存在定点,使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）轴上存在点

【解析】试题分析：（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可

试题解析：（1）由题意知，

根据椭圆的定义得：

即

，

椭圆的标准方程为

（2）假设在轴上存在点，使得恒成立．

① 当直线的斜率为时，，．

则

解得．

② 当直线的斜率不存在时，，．

则

解得或

③ 由①②可知当直线的斜率为或不存在时，使得成立．

下面证明即时恒成立．

设直线的斜率存在且不为时，直线方程为，,

由，可得

，

∴

综上所述：在轴上存在点，使得恒成立．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程