Question

已知椭圆的离心率为，点是椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一点， 且的面积为3．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)动点在椭圆上，动点在直线上，若，求证：原点到直线的距离是定值．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）原点到直线的距离为定值．

【解析】【试题分析】（1）依据题设运用已知条件进行求解；（2）借助题设中的“”运用坐标之间的关系进行分析推证：

（Ⅰ）【解析】
椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）证明：①若直线的斜率不存在，

， ， ， ．

②若直线的斜率存在，

设直线方程为： ，

代入得， ，

直线的方程为，代入得．

．

设原点到直线的距离为，

，则．

综上所述，原点到直线的距离为定值．

点睛：本题以圆锥曲线中的椭圆为载体，设置了两道问题。求解第一问时，直接依据题设条件求出椭圆标准方程中的参数，从而使得问题获解；解答第二问时，先分别建立直线方程为： ，再建立直线的方程为，进而借助坐标之间的关系分析探求，从而使得问题简捷、巧妙获解。