Question

若， ．

(Ⅰ) 当时，求函数的最值；

(Ⅱ)当时，且对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】【试题分析】（1）依据题设运用导数与函数单调性的关系分析求解；（2）借助题设条件先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求：

（Ⅰ）由，得．

∴在上递减，在上递增，

∴在时有最小值．

（Ⅱ）， 在上均为增函数，不妨设，则

对任意的上恒成立，

等价于 ，

即对任意的上恒成立，

令 ，则在为减函数，

则在上恒成立，

∴， 上恒成立．

令， ，

∴ ， ．

∵，∴，

∴在上为减函数，

∴在的最大值为．

综上，实数的取值范围为．

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景和前提，设置了两道问题，旨在考查导数在研究函数的单调性极值（最值）方面的综合运用。求解第一问时，先运用导数研究函数的单调区间，再求其最值使得问题获解；解答第二问时，先将不等式进行等价转化与化归，再构造函数令 ，运用导数知识分析探求，从而使得问题简捷、巧妙获解。