Question

如图，在多面体中， 平面， 平面，且是边长为4的等边三角形， ， 与平面所成角的余弦值为， 是线段上一点．

（Ⅰ）若是线段的中点，证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析:（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理即可证明;

（Ⅱ）建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用两个法向量的夹角即可求解

试题解析:（Ⅰ）证明：取的中点，连接．

∵平面， 平面，

∴平面平面．

∵是等边三角形，

∴，

又平面，平面平面，

∴平面．

∴是在平面上的射影， 即是与平面所成角．

∵与平面所成角的余弦值为，

∴与平面所成角的正弦值为，

∴，而，

∴，∴．

法一：取的中点，连接， ．

∵是等边三角形， ∴．

又平面， 平面，∴．

而平面，且，

∴平面．

∵是线段的中点，

∴，且．

又平面， 平面， ， ，

∴，且．

∴，且，四边形是平行四边形，则．

∴平面．又平面，

∴平面平面．

法二：取的中点为，以为原点， 为轴， 为轴， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ．

∴， ， ．

∴， ，

∴， ，

而平面，且．

所以平面

又平面，

∴平面平面

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知，当是线段的中点时，可得平面，

又，

则可取平面的一个法向量，

设平面的一个法向量，则，

又， ，

所以．

取，则， ，即，

则 ，

，

所以二面角的平面角的正弦值为．