Question

已知椭圆的离心率为， 是椭圆上任意一点，且点到椭圆的一个焦点的最大距离等于．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于不同两点，设为椭圆上一点，是否存在整数，使得（其中为坐标原点）？若存在，试求整数的所有取值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）整数的所有取值为-1，0，1．

【解析】试题分析:（Ⅰ）由，解得,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出直线方程,和椭圆联立后化为关于的一元二次方程,由判别式大于求出的范围,利用根与系数关系得到两点的横坐标的和与积,代入后得到点的坐标,把点坐标代入椭圆方程后得到与的关系,由的范围确定的范围.

试题解析:（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题意知

，解得，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）结论：存在整数，使得．理由如下：

由题意知直线的斜率存在．

设， ， ， ，

由方程组，消去整理得．

∵直线与椭圆有两个不同的公共点，

∴ ，解得．

而， ，

∵，

∴，

∴， ．

∵点在椭圆上，∴，

∴ ，即，解得，

∴整数的所有取值为-1，0，1．