Question

设函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）若曲线在轴上的截距为-1，且在点处的切线垂直于直线，求实数的值；

（Ⅱ）记的导函数为， 在区间上的最小值为，求的最大值．

Answer

（Ⅰ）， ；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析:（Ⅰ）通过，解得．由，解得．

(Ⅱ)求出函数的导数,通过,利用新函数的导数 ,利用(1)当, 在上的单调性,推出当时,推出;当时,通过导数求解 .

试题解析:（Ⅰ）∵曲线在轴上的截距为-1，

∴，解得．

又∵，且在点处的切线垂直于直线，

∴曲线在点处的切线的斜率为

，解得．

∴， ．

（Ⅱ）∵，即， ．

由得．

（1）当即时，在上， 在上是增函数，

所以；

（2）当，即时，

∵令，在上解得，

∴在上是减函数，在上是增函数．

∴ ．

令，则， ， ，

所以在上是减函数， ，即；

（3）当即时，在上， 在上是减函数，

所以．

综上可得，即的最大值为．