Question

已知平面上动点到直线的距离比它到点的距离多1.

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）设动点形成的曲线为，过点的直线交曲线于两点，若直线和直线的斜率之和为2（其中为坐标原点），求直线的方程.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由题意知，动点到定点的距离等于它到定直线的距离，所以动点的轨迹是以定点为焦点、定直线为准线的抛物线

因为，所以动点的轨迹方程是

（Ⅱ）曲线是设点直线的方程为.联立得.因为

当时，有不等实数根，满足条件.

故直线的方程是

【点睛】本题考查抛物线的定义及其方程、抛物线的简单几何性质和直线与抛物线，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中档题型. 第一小题紧扣抛物线定义再利用待定系数法求得轨迹方程；第二小题 利用设而不求法和韦达定理求得，进而求得直线方程.