Question

如图，点为椭圆右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.

（Ⅰ）求的值和椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若是椭圆的左焦点，点是椭圆上除长轴上两个顶点外的任意一点，且，求的最大值.

Answer

（Ⅰ）,;（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由题意可知. 又. 因为 所以.

在中，，.

故椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设

则由余弦定理得，

，

所以即当且仅当时取等号，最小值是，的最大值是

【点睛】本题考查椭圆其方程、椭圆的简单几何性质、直线与圆和解三角形，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中档题型. 第一小题先利用勾股定理求得值，再利切线性质求得值，进而求得椭圆方程；第二小题利用余弦定理求得，再利用重要不等式工具进行求解.