Question

如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=.

（Ⅰ）证明:D'H⊥平面ABCD.      （Ⅱ）求二面角B-D'A-C的正弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.

试题解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.

因此，从而.由,得.

由得.所以，.

于是，

故.

又，而，

所以.

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可取.设是平面的法向量，则，即，所以可取.于是，.因此二面角的正弦值是.

【考点】线面垂直的判定、二面角.

【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．