Question

已知椭圆E： 的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，且｜AB|=1.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设P、Q是椭圆E上两点，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ,其中O是坐标原点.

当P、Q运动时，是否存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切？若存在，请求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（１）＋y2＝1. （２）存在定圆O: 使得直线PQ与定圆O相切.

【解析】试题分析：（1）利用，解得，由此求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，将转化为两个向量的数量积为零，可求得的一个关系式.由于直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径可求得半径为定值.

试题解析：

（1）因为e＝，所以＝，通径长， 解得 ， ,故椭圆的方程为＋y2＝1. （2）设PQ方程为y=kx+m 代入椭圆方程＋y2＝1.

化简得 设P（x1,y1） Q(x2,y2)

由韦达定理得

化简得

假设存在定圆与直线PQ相切，半径为r，则圆心到直线的距离d=r

为定值

所以当P,Q运动时， 存在定圆: 使得直线PQ与定圆相切.

点睛：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查了化归与转化的数学思想方法和数形结合的数学思想方法.第一问先根据题目所给的两个已知条件，将条件转化为三者之间的关系，联立方程组可求得椭圆方程.第二问设出直线方程，利用两直线垂直，和圆心到直线的距离等于半径，可求得半径为定值.