Question

设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.

(1)求                   (2)证明:

Answer

（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.

试题解析：（1）函数的定义域为，

.

由题意可得，.故，.

（2）证明：由（1）知，，

从而等价于.

设函数，则.

所以当，；

当时，.

故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.

设函数，则.

所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.

综上，当时，，即.

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.