Question

如图，已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.过劣弧上动点作圆的切线交抛物线于两点，分别以为切点作抛物线的切线， 与相交于点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求点到直线距离的最大值.

Answer

（1）;（Ⅱ）当且仅当时， .

【解析】试题分析：(1) 且在圆上可得点坐标，代入抛抛线方程可得.

(2) 设两切点， ，结合导数求两切线和其交点为,

又由得从而为.再利用点到线的距离公式求解即可.

试题解析：（1）由得，故.

于是，抛物线的方程为.

（Ⅱ）设， ，切线： ，

代入得，由解得,

方程为，同理方程为,

联立，解得,

易得方程为，其中， 满足， ,

联立方程得，则,

∴满足,即点为.

点到直线： 的距离

关于单调减，故当且仅当时， .