Question

如图，在直三棱柱中， 平面，其垂足落在直线上.

（1）求证： ；

（2）若是线段上一点， ， ，三棱锥的体积为，求的值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线，由已知与平面垂直可得，再由直三棱柱中侧棱与底面垂直，又得，从而可得与平面垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知是等腰直角三角形，可得其面积，由可通过解直角三角形得，从而可求得三棱锥的体积．由三棱锥与三棱锥的关系可求得，从而得．（也可设，求得三棱锥（用表示），再由已知列方程解得）．

试题解析：

（1）∵平面， 平面，

∴，在直三棱柱中易知平面，

∴，∵，∴平面，

∵平面，

∴.

（2）设，过点作于点，由（1）知平面，∴.

∵，∴，

∴.

∵平面，其垂足落在直线上，

∴

∵，

在中， ，又，∴，

在中， ，∴.

又三棱锥的体积为，∴，解得.

∴，∴.

点睛：体积与面积是立体几何中一个重要内容，是高考必考内容之一，求体积的一般方法有：

1．直接法：对规则几何体（如柱、锥、台、球），直接利用体积公式计算；

2．割补法：对一些不规则的几何体，常通过分割或补形的手段将此几何体变成一个或几个的、体积易求的几何体，然后再进行计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体五湖朱锥体；

3．等积转换法：对三棱锥的体积，利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为底面，（1）求体积时，可以选择“容易计算”的方式来计算；（2）利用线面平行，在底面确定的情况下，把顶点转化为易于计算的其他点为顶点的三棱锥；（3）利用“等积性”可求“点到平面的距离”，关键是在已知面中选取三个点与已知点构成三棱锥．