Question

已知椭圆： 上顶点为，右顶点为，离心率， 为坐标原点，圆： 与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线： （）与椭圆相交于两不同点，若椭圆上一点满足，求面积的最大值及此时的.

Answer

（1）；（2）时， 的面积的最大值为.

【解析】试题分析：

（1）利用写出直线的方程，由圆与直线相切可得的一个方程，由离心率又得，结合可解得，得标准方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去后得的一元二次方程，由判别式大于0得的取值范围，设交点为，由韦达定理得，利用椭圆中的弦长公式求得弦长，再求得原点到直线的距离（即为到直线距离），于是的面积就可用表示出来了，再由换元法（设）可求得最大值．

试题解析：

（1）由题意，直线的方程为，即为.因为圆与直线相切，所以，…………①

设椭圆的半焦距为，因为， ，所以，…………②

由①②得，所以椭圆的标准方程为.

（2）由可得，设，则

∴，

所以，

又点到直线的距离，

∵，∴，又因为

得，又，∴，令，则，所以当， 时， 最大值为，所以当时， 的面积的最大值为.