Question

已知函数.

（1）若曲线与轴相切于原点，求的值；

（2）若时， 成立，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】【试题分析】（1）依据题设运用导数的几何意义分析求解；（2）借助题设通过换元运用导数知识分析探求：

（Ⅰ）

由得．

（Ⅱ）， ．

令，则， ，
，当且仅当时取等号，

故时， 单调递减， ．
（ⅰ）若，则，仅当时取等号，
单调递增， ．
（ⅱ）若，令，
，存在，使得，
且当时， ， 单调递减，
，

因为， ，所以，
故存在， ，即不能恒成立，所以不合题意．
综上所述， 的取值范围是.

点睛：本题旨在考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先依据导数的几何意义建立切线方程；后借助过坐标原点求出参数的值使得问题获解；求解第二问时，先对函数解析式进求导，再进行换元，分析导函数值的符号，从而将问题进行等价转化，最后分析探求出参数的取值范围，使得问题获解。