Question

如图，三棱柱中， 平面， ， ， 分别为， 的中点.

（1）求证： 平面；

（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接， ， 设法证明，即可得到平面；

（2）由平面，得， ．

以为原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

求出相关点的坐标，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用 即可求出直线与平面所成角的正弦值．

试题解析：

（1）连接， ，则且为的中点，

又∵为的中点，∴，

又平面， 平面，

故平面．…4分

（2）由平面，得， ．

以为原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则， ， ，

， ， ．

取平面的一个法向量为，

由， 得：

，令，得

同理可得平面的一个法向量为

∵平面平面，∴

解得，得，又，

设直线与平面所成角为，则

.

所以，直线与平面所成角的正弦值是．