Question

已知椭圆： 的离心率为，点在椭圆上， 为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为椭圆上的三点，若四边形为平行四边形，证明：四边形的面积为定值，并求该定值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由椭圆离心率，可得 ，将 代入椭圆方程可得 ，则椭圆方程可求；

（2）分情况讨论，当不存在时， 方程为： 或，可得 ．

当直线的斜率存在时，设直线方程为： ， ， ．

将的方程代入得： ，可求得

由得： ，

将点坐标代入椭圆方程得： ．又到直线的距离，，最后由

.

综上，平行四边形的面积为定值．

试题解析：

（1）由，得，

将代入椭圆的方程可得，所以，

故椭圆的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时， 方程为： 或，

从而有，

所以．

当直线的斜率存在时，

设直线方程为： ， ， ．

将的方程代入整理得： ，

所以， ，

，

由得： ，

将点坐标代入椭圆方程得： ．

点到直线的距离，

，

.

综上，平行四边形的面积为定值．