Question

已知函数.

（Ⅰ）证明：函数在上单调递增；

（Ⅱ）若， ，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导函数的性质证明即可；（Ⅱ）利用导函数求解，对进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）

因为，所以，于是

（等号当且仅当时成立）．

故函数在上单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上单调递增，又，所以，

（ⅰ）当时， 成立．

（ⅱ）当时，

令，则，

当时， ， 单调递减，又，所以，

故时， ．（*）

由（*）式可得，

令，则

由（*）式可得

令，得在上单调递增，

又， ，所以存在使得，即时， ，

所以时， ， 单调递减，又，所以，

即时， ，与矛盾．

综上，满足条件的m的取值范围是．