Question

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， ， ， ， ， 是等边三角形，且侧面底面， 分别是， 的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）连接，交于点，连接， ，得到四边形是平行四边形，∴为的中点.由为的中点，可得，从而证明平面.

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示坐标系，

利用向量法能求出平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）连接，交于点，连接， ，

∵且， 为的中点，∴， ，

∴四边形是平行四边形，∴为的中点.

∵为的中点，∴，

∵平面， 平面，∴平面.

（Ⅱ）连接，∵为的边的中点，∴，

∵平面底面，∴底面，

∴， .

∵为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，

∵，∴，

以为坐标原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示坐标系，

设，则， ， ，

∴， ， ， ， ，

∴， ， ， ，

设平面的法向量为，

则.即，

令，得，

设平面的法向量为，

则.即，

令，得，

设平面与平面所成二面角的平面角为（锐角），

则.

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

点睛：本题考查线面平行的判定与性质，考查利用二面角的余弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．