Question

甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．

(I)求该小组未能进入第二轮的概率；

(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）；

（Ⅱ）的分别列为

.

【解析】试题分析：（1）分别将甲、乙、丙第次猜对歌名记为事件， ， ，则， ， 相互独立.该小组未能进入第二轮的概率

（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．

试题解析：

分别将甲、乙、丙第次猜对歌名记为事件， ， ，则， ， 相互独立.

（Ⅰ）该小组未能进入第二轮的概率

.

（Ⅱ）乙猜对歌曲次数的可能取值为0,1,2,3，

，

，

，

，

，

，

∴的分别列为

.

点睛：本题考查了相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．