Question

已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于0的等比数列，且， ， .

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和为.

Answer

（Ⅰ）， ；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意设数列的公差为， 的公比为，且，

由，，解得， ，，则数列和的通项公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，则

当为偶数时，奇数项和偶数项各有项，

∴.

令，利用错位相减法可得

故为偶数时， ，

当为奇数时， 为偶数，

，

试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为， 的公比为，且，

由题易知， ， ，

由，得，

解得（舍去），此时，

∴， .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，

∴，

当为偶数时，奇数项和偶数项各有项，

∴.

令，

∴，

，

以上两式相减得，

，

.

故为偶数时， ，

当为奇数时， 为偶数，

，

经验证， 也适合上式，

综上得

点睛：本题考查等差数列、等比数列的通项的求法，以及数列求和错位相减法，分类讨论思想等.属中档题.解题时注意分类标准，做到不重不漏.