设函数， . （Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）记，讨论的单调性； ...

设函数， .

（Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）记，讨论的单调性；

（Ⅲ）若在恒成立，求实数的取值范围.

（Ⅰ）1；（Ⅱ）时，在单调递减，时，在单调递减，在单调递增；（Ⅲ） . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，∴，故在单调递增，又，因此函数在内存在零点. 所以的零点的个数为1. （Ⅱ）由题意，，分时和两种情况讨论，可知的单调性；（Ⅲ）由题意：，问题等价于在恒成立，讨论可知，，即当在恒成立时，必有. 当时，设， ①若，则时，，不恒成立. ②若,即时，在恒成立. 试题解析：（Ⅰ）由题意知，∴，故在单调递增，又，，因此函数在内存在零点. 所以的零点的个数为1. （Ⅱ），，当时，，在上单调递减；当时，由，解得（舍去负值），所以时，，单调递减，时，，单调递增. 综上时，在单调递减，时，在单调递减，在单调递增. （Ⅲ）由题意：，问题等价于在恒成立，设，若记，则，当时，，在单调递增，，即，若，由于，故，故，即当在恒成立时，必有. 当时，设， ①若，则时，由（Ⅱ）知，单调递减，，单调递增，因此，而，即存在，使，故当时，不恒成立. ②若，即时，设，，由于且，即，故，因此，故在单调递增. 所以时，即时，在恒成立. 综上：，在恒成立.

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考点分析：

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