Question

如图所示，四棱锥的底面为直角梯形， ．点是的中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）已知平面底面，且．在棱上是否存在点，使？请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，由此得到，即可证得线面平行.（2）为的中点，连接，利用等腰三角形可知，易证得，故平面，所以.

试题解析：

（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…

又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…∴四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AQ．…又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD．

（2）【解析】
棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，

∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，

∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，

∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．