Question

已知圆： 过椭圆： ()的短轴端点， ， 分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为3．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作圆的一条切线交椭圆于， 两点，求的面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）1.

【解析】试题分析: （Ⅰ）根据椭圆几何性质得线段长度的最大值为，且，解出，得椭圆的方程；（Ⅱ）利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及弦长公式可得底边长（用斜率及表示）；利用点到直线距离公式得三角形的高（用斜率及表示）；根据圆心到切线距离等于半径得斜率与关系，代入面积公式并化简得关于的函数关系式，最后利用基本不等式求最值.

试题解析:【解析】
（Ⅰ）∵圆过椭圆的短轴端点，∴，又∵线段长度的最大值为3，

∴，即，

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）由题意可设切线的方程为，即，则，得．①

联立得方程组消去整理得．

其中，

设， ，则， ，

则．②

将①代入②得，∴，

而，等号成立当且仅当，即．

综上可知： ．