Question

设函数， 为正实数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求证： ；

（3）若函数有且只有个零点，求的值．

Answer

（1）（2）详见解析（3）．

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，所以先求导数，代入即得，又，由点斜式得切线方程（2）由于，所以转化为证明恒成立，即，转化为利用导数求函数最值（3）因为，而先增后减，且，所以必为最大值（极大值），解得，最后证明当1不为极值点时， 的零点不唯一．

试题解析：（1）当时， ，则，……………2分

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为．…………4分

（2）因为，设函数，

则， …………………………………………………6分

令，得，列表如下：

极大值

所以的极大值为．

所以．………………………………………………8分

（3）， ，

令，得，因为，

所以在上单调增，在上单调减．

所以．………………………………………………10分

设，因为函数只有1个零点，而，

所以是函数的唯一零点．

当时， ， 有且只有个零点，

此时，解得．…………………………………………12分

下证，当时， 的零点不唯一．

若，则，此时，即，则．

由（2）知， ，又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，

所以在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意；

若，则，此时，即，则．

同理可得，在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意．

因此，所以的值为．…………………………………………………16分

考点：导数几何意义，利用导数证明不等式，利用导数研究函数零点

【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．