Question

长方体中， ， 分别是， 的中点， ， ．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）线段上存在一点，使得二面角为，且.

【解析】试题分析：（Ⅰ）要证与平面平行，就是要证与平面内的一条直线平行，由长方体的特征，过作交于点，可证与平行且相等，从而得，得线面平行；

（Ⅱ）要证面面垂直，首先在矩形中，由已知可得，因此再由长方体一性质有，从而得与平面垂直，于是有面面垂直；

（Ⅲ）以为原点， 、、所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，写出各点坐标，设（），从而得，求出二面角的两个面的法向量，由法向量的夹角余弦的绝对值为可求得值，从而确定Q点是否存在．

试题解析：

（Ⅰ）证明：过作交于，连接．

∵是的中点，∴， ，

又∵是中点，∴， ，

∴， ， 是平行四边形，

∴，

又在平面内，∴平面．

（Ⅱ）证明：∵平面， 在平面内，

∴，

在矩形中， ，

∴，

∴是直角三角形，∴，

∴平面，

∵在平面内，∴平面平面．

（Ⅲ）【解析】
以为原点， 、、所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，则 ， ， ．

平面的法向量为，

设，（ ），则，

设平面的法向量为，

则令，则，

∵二面角为，

∴，

由于，∴，

∴线段上存在一点，使得二面角为，且．

点睛：本题是考查立体几何中的存在性问题，在与“两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练运用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题．空间向量法是证明立体几何中存在性命题的重要方法．