Question

设函数，若在处有极值.

（1）求实数的值；

（2）求函数的极值；

（3）若对任意的，都有，求实数 的取值范围.

Answer

(1) ;(2)详见解析;(3) 或.

【解析】试题分析：（1）先对函数求导，因为在处有极值，所以，即可求出的值；（2）根据（1）可知，令，解得，然后判断极值点左右两边的符号，进而求出的极值；（3）对任意的，都有，则，利用导数求出函数的最大值，求出的取值范围。

试题解析：(1) ，由已知得，解得.

(2) 由（1）得， 则，令，解得，当，当，当，所以在处取得极大值，极大值，在处取得极小值，极小值.

(3)由（2）可知极大值，极小值，又，所以函数在上的最大值为，对任意的，都有，则，解得或.

点睛：恒成立和存在问题相关结论：（1）对于,都有函数恒成立，则在区间上函数的最大值小于等于，即；（2）对于,都有函数恒成立，则在区间上函数的最小值大于等于，即；（3）对于,有函数成立，则在区间上函数的最小值小于等于，即；（4）对于,有函数成立，则在区间上函数的最大值大于等于，即.