Question

已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请

说明理由．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆上任意一点到两焦点的距离和为，求出即可求出椭圆方程．（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解．

试题解析：（1）因为离心率为，

故椭圆的方程为：

（2）若与轴重合时，显然与原点重合，合条件

若直线的斜率，则可设，设则：

所以化简得：；

的中点横坐标为：，代入可得：

的中点为，

由于得到

所以： 综合（1）（2）得到：

考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合应用．

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的求解、简单的几何性质的应用、直线与椭圆位置关系的应用，其中利用设而不求的数学思想方法是解答本题的关键，属于中档试题，本题的第2问的解答中，把直线和椭圆方程联立，转化为一元二次方程，利用方程根和系数的关系，求得中点的坐标，利用，可得的表达式，求解的范围．