Question

已知函数，且直线是函数的一条切线.

（1）求的值；

（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；

（3）已知方程有两个根，若，求证: .

Answer

(1) ;(2) ;(3) 详见解析.

【解析】试题分析：（1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得， ，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明.

试题解析：(1)设直线与相切于点，依题意得，解得，所以，经检验： 符合题意.

(2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得.

(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为，即，令，则，则，令，因为，所以在上单调递增，所以，所以，即.