Question

如图，已知正方体的棱长为， 分别是棱的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】【试题分析】（1）先证明线面垂直，再借助面面垂直的判定定理进行推证；（2）依据题设与点面距离的定义构建三角形探求：

（1）证明：连和，易知四边形是平行四边形，∴，又， ， ，所以平面，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）【解析】
在平面内，过作， 为垂足，则的长就是到平面的距离，在中， ，所以所求的距离为.

点睛：立体几何是高中数学中的重要内容之一，也是高考重点考查的知识与内容之一。本题以正方体为载体和背景，创设了两道与计算和证明有关的综合性问题。求解第一问时，依据题设条件，直接运用线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理进行分析推证，从而使得问题获解；解答第二问时，运用点面距的定义，构造出直角三角形，通过解直角三角形的边长使得问题获解。