Question

如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线于抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且.

（1）求抛物线和圆的方程；

（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.

Answer

（1）抛物线的方程为；圆的方程为；（2）．

【解析】试题分析：（1）首先根据抛物线的焦点坐标求出的值，由此得到抛物线的方程，再由题可知在处圆和抛物线相切，从而利用导数的几何意义求得点的坐标，得到圆的方程；（2）设出直线的方程，并联立抛物线方程，利用点到直线的距离公式结合圆的半径和弦长公式求得，再利用抛物线的焦点弦长公式求得，从而求得的最小值．

试题解析：（1）因为抛物线的焦点为，

所以，解得，所以抛物线的方程为.

由抛物线和圆的对称性，可设圆，

∵，∴是等腰直角三角形，则，

∴，代入抛物线方程有.

由题可知在处圆和抛物线相切，对抛物线求导得，

所以抛物线在点处切线的斜率为.

由，知，所以，代入，解得.

所以圆的方程为.

（2）设直线的方程为，且，

圆心到直线的距离为，

∴，

由，得，设，

则，由抛物线定义知，，

所以，

设，因为，所以，

所以，

所以当时，即时，有最小值.

考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、圆的方程；3、直线与抛物线的位置关系；4、直线与直线的位置关系．

【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可．