Question

已知函数（为自然对数的底数）.

（1）若， ，求函数的单调区间；

（2）若，且方程在内有解，求实数的取值范围.

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）

【解析】【试题分析】（1）先求出函数解析式导数，再借助导数与函数的单调性的关系求解；（2）依据题设先将问题进行等价转化，再构造函数运用导数与函数的单调性的关系研究函数的图像的形状分析求【解析】

（1）若， ，则，

由，得或，

①若，即时， ，此时函数单调递减，单调递减区间为；

②若，即时，由，得；由得，或，

所以单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）若，∴， 则，

若方程在内有解，即在内有解，

即在有解.

设，则在内有零点，设是在内的一个零点，

因为， ，所以在和上不可能单调，

由，设，则在和上存在零点，

即在上至少有两个零点，因为，

当时， ， 在上递增，不合题意；

当时， ， 在上递减，不合题意；

当时，令，得，则在上递减，在上递增，

在上存在最小值.

若有两个零点，则有， .

所以， ，

设，则，令，得，

当时， ，此时函数递增；

当时， ，此时函数递减，

则，所以恒成立.

由， ，所以，

当时，设的两个零点为，

则在上递增，在上递减，在上递增，

则， ，则在内有零点，

综上，实数的取值范围是.

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，创设了两道与函数的单调性、最值有关的综合性问题。求解第一问时，依据题设条件，先求函数的导数，再借助分类整合思想分类求出单调区间；解答第二问时，先将问题转化“在有解.然后构造函数，则在内有零点”，从而将问题进行了等价转化，最后运用导数知识进行分析求解，使得问题巧妙获解。