Question

已知三棱锥， 两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（    ）

A.     B. 或    C.     D. 或

Answer

D

【解析】如图，建立如图所示空间直角坐标系，设， 是的中点，则，由于，即，所以，所以的中点应在以为球心，半径为1的球面上，则该点的轨迹是以为球心的球面。该点的轨迹与三棱锥围成的几何体的体积是球体的或是该三棱锥的体积去掉球体的体积而剩余的部分的体积。由于球体的体积，三棱锥的体积是，该点的轨迹与三棱锥围成的几何体的体积是，或，应选答案D。

点睛：解答本题的难点是依据题设条件搞清楚线段的中点的轨迹的性质与性质，然后再借助空间图形的特征判断该轨迹三棱锥围成的几何体的形状，然后求其体积，从而使得问题获解。