Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆（），圆（），若圆的一条切线与椭圆相交于两点.

（1）当， 时，若点都在坐标轴的正半轴上，求椭圆的方程；

（2）若以为直径的圆经过坐标原点，探究是否满足，并说明理由.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离公式可求得，由点都在坐标轴的正半轴上，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）由以为直径的圆经过点，可得，即，由在直线上，可将用表示，然后联立直线与椭圆的方程结合韦达定理得，化简可得结论.

试题解析：（1）∵直线与相切，∴.

由， ，解得.

∵点都在坐标轴正半轴上，

∴.

∴切线与坐标轴的交点为， .

∴， .

∴椭圆的方程是.

（2）的关系满足.

证明如下：设，

∵以为直径的圆经过点，

∴，即.

∵点在直线上，

∴.

∴ （*）

由消去，得.

即

显然

∴由一元二次方程根与系数的关系，得

代入（*）式，得.

整理，得.

又由（1），有.

消去，得

∴

∴满足等量关系.

点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系之相切以及直线与椭圆的位置关系之相交与韦达定理相结合，计算量较大，由一定难度；由直线与坐标轴的交点可得椭圆中的， 的值，即可得椭圆的方程，对于第二问主要用到直径所对的圆周角为直角转化为向量的数量积为，由直线相交得与的关系，最后用到最常见的直线与椭圆相交联立方程组与韦达定理结合，得.