Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆（），圆（），若圆的一条切线与椭圆相交于两点.

（1）当， 时，若点都在坐标轴的正半轴上，求椭圆的方程；

（2）若以为直径的圆经过坐标原点，探究之间的等量关系，并说明理由.

Answer

（1）椭圆的方程是；（2）满足等量关系．

【解析】试题分析：

(1)首先利用直线到圆心的距离等于半径求得 的值，然后结合几何关系求得 的值即可求得椭圆的标准方程.

(2)将原问题转化为，联立直线与椭圆的标准方程，结合根与系数的关系整理计算即可求得 之间的等量关系.

试题解析：

【解析】
（1）∵直线与相切，∴.

由， ，解得.

∵点都在坐标轴正半轴上，

∴.

∴切线与坐标轴的交点为， .

∴， .

∴椭圆的方程是.

（2）设，

∵以为直径的圆经过点，

∴，即.

∵点在直线上，

∴.

∴ （*）

由消去，得.

即

显然

∴由一元二次方程根与系数的关系，得

代入（*）式，得.

整理，得.

又由（1），有.

消去，得

∴

∴满足等量关系.