Question

已知函数，其中.

（1）若在上存在极值点，求的取值范围；

（2）设， ，若存在最大值，记为，则当时， 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，且存在最大值为．

【解析】试题分析：

(1)函数存在极值点，将问题转化为导函数有根，且不为重根，据此分离系数，结合对勾函数的性质和函数的定义域求解实数 的取值范围即可；

(2)分类讨论，当 时， 不存在最大值，

当 时，由根与系数的关系求得 的解析式，结合 的式子构造新函数 ，利用新函数的性质结合题意即可求得 的最大值.

【解析】

（1）， .

由题意，得，在上有根（不为重根）.

即在上有解.

由在上单调递增，得.

检验：当时， 在上存在极值点.

∴.

（2）若，∵在上满足，

∴在上单调递减，∴.

∴不存在最大值.

则.

∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设

则.

在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，

对，有；对，有，

∴.

∴

.

将， 代入上式，消去得

∵，∴， .

据在上单调递增，得.

设， .

， .

∴，即在上单调递增.

∴

∴存在最大值为.

点睛：可导函数在点 处取得极值的充要条件是，且在 左侧与右侧的符号不同．若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．