Question

如图，在梯形中， ， ， ，平面平面，四边形是菱形， .

（1）求证： 平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）证明，由平面平面，平面平面，得平面；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出法向量,再根据空间向量夹角余弦公式求解即可.

试题解析：（1）在梯形中，∵， ，

∴，

∴，∴，又∵平面平面，

平面平面，∴平面；

（2）取为中点，连，∵四边形是菱形， ，∴，即与同理可知平面如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有

， ，

；

设是平面的一个法向量，则，即，取，

设是平面的一个法向量，则，即，

设平面与平面所成锐二面角为，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．