Question

已知圆和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线

（1）求曲线的方程；

（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点在曲线上，若直线的斜率满足求面积的最大值.

Answer

（1）;（2）．

【解析】试题分析：（1）利用圆与圆的位置关系，得出曲线是为焦点，长轴长为的椭圆，即可求曲线的方程；（2）联立方程组，得，利用韦达定理，结合，得出直线过定点，表示出面积，即可，求面积的最大值.

试题解析：（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，所以动圆与圆内切．设动圆半径为，则．因为动圆经过点，所以， ，所以曲线是为焦点，长轴长为的椭圆．由．得，所以曲线的方程为．

（2）直线斜率为0时，不合题意，设，直线，

联立方程组，得， ，

又，知

．

代入得，

又，化简得，

解得，故直线过定点，由，解得，

，

（当且仅当时取等号），综上， 面积的最大值为．

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最大值的.