Question

已知函数， 存在两个极值点.

（1）求的最小值；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）;（2）．

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求出极值点， 存在两个极值点，推出，求出的范围，化简，通过时， ，当时， ，求解的最小值；（2）通过得，化简

，构造，求出导函数，利用函数的单调性求解最值即可.

试题解析：（1），令得①，

因为存在两个极值点，所以方程①在上有两个不等实根，

所以解得，且， ，

所以， ，

当时， ，当时， ，所以的最小值为，

（2）由（1）可知， ，

由得，所以

，

令，则，

因为，所以，即在递减，

，综上，实数的取值范围为．

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求其极值和最值以及不等式恒成立问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.