Question

设为实数，且,

（1）求方程的解；     （2）若满足，求证：①②；        （3）在（2）的条件下，求证：由关系式所得到的关于的方程存在，使

Answer

(1) 或;（2）见解析;(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）令即，故.（2）①由于，故，也即，所以， ②由（1）可化简，令，利用单调性的定义证明函数在区间上为增函数，由此证得.（3）化简关系式得到，即，利用消去，得到关于的方程，利用二分法可判断零点在区间.

试题解析：

由，得所以或

（2）证明：①因为，且，可判断，

所以，即即，则

②由①得令，（ ）

任取且

因为

===

在上为增函数，

，

（3）证明：

，得又

.

令 ，因为

根据函数零点的判断条件可知，函数在（3,4）内一定存在零点，

即存在使.

点睛：本题主要考查解方程，考查函数单调性的定义，并利用单调性来求最值的方法，考查零点的存在性定理与二分法.由于函数是含有绝对值的，故由有必有其中一个是负数，即.要求证不等式，消去之后利用单调性的定义来求最小值.二分法是需要，这是零点存在的充分条件，不是必要条件.