Question

已知在平面直角坐标系中， 是坐标原点，动圆经过点，且与直线相切.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）过的直线交曲线于两点，过作曲线的切线，直线交于点，求的面积的最小值.

Answer

（1）（2）4

【解析】试题分析: (1)由直接法求出轨迹方程; (2)假设 以及直线 ,联立直线与抛物线方程,求出 表达式,求出点M到直线 的距离,由 ,再算出最小值.

试题解析: (1)设动圆圆心 ,由已知条件有

（2）设，直线

将代入中得

所以， ，

得切线：

点睛: 本题主要考查轨迹方程的求法和直线与抛物线相交时求三角形的面积, 属于中档题. 解题思路: (1)利用直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径, 求出圆心的轨迹方程; (2)联立直线与抛物线方程, 由韦达定理求出两根之和,两根之积,求出,由导数几何意义,求出切线 的斜率,求出的交点M, 由面积 ,算出最小值.