Question

已知是抛物线的焦点， 为抛物线上不同的两点， 分别是抛物线在点、点处的切线， 是的交点．

（1）当直线经过焦点时，求证：点在定直线上；

（2）若，求的值．

Answer

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .

【解析】试题分析: (1)利用导数的几何意义,分别求出切线PA,PB的斜率,再写出直线方程,求出交点P的坐标,联立直线AB的方程和抛物线方程,求出 ,即P点纵坐标为定值 ,得证; (2)假设直线AB的方程 ,联立直线和抛物线方程,求出,由两点间的距离公式,得到 ,化简 ,得出值.

试题解析:(Ⅰ)抛物线，则，

∴切线的方程为，即，同理切线的方程为，

联立得点 ， 设直线的方程为，代入得。所以所以点在直线上

(Ⅱ) 设直线的方程为，代入得。

，所以，

点睛:本题主要考查直线与抛物线位置关系, 属于中档题. 本题思路): (1)由导数求出切线PA,PB方程, 得出交点P坐标, 联立直线AB的方程和抛物线方程, 由韦达定理得出 为定值,即点P纵坐标为定值; (2) 假设直线AB的方程 ,联立直线和抛物线方程,由 ,求出 之间的关系,化简 ,将 之间的关系代入,求出值.