Question

一张半径为4的圆形纸片的圆心为， 是圆内一个定点，且， 是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴， 的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.

（1）求曲线的方程；

（2）曲线与轴的交点为， （在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：动点恒在定直线上，并求的方程.

Answer

（1）;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意垂直平分，所以，结合椭圆的定义可写方程.

(2) 设的方程是，设， ， ，由可得， . 联立直线、的方程： 和，得 ，代入整理即可得解.

试题解析：（1）由题意垂直平分，所以所以的轨迹为以， 为焦点、长轴长为的椭圆，焦距，所以，所以动点的轨迹为曲线的方程是： ．

（2）， ，设的方程是，设， ， ，

由得，

所以， ， .

因为在轴上方，∴， ．

直线、的方程分别是： ， ，

联立得：

．

∴动点恒在定直线： 上．

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.