已知函数. （1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；（2）是否存在...

已知函数.

（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足，的的值；若不存在，请说明理由.

（1）;（2）．【解析】试题分析：（1）由在定义域上单调递减，则恒成立，求的最大值小于等于0即可. (2) 当时，，∴恒成立，当时，由（1）知，在内单调递减，分，两种情况讨论函数的单调性和零点. 试题解析：（1）由已知，函数的定义域为，由在定义域上单调递减，则恒成立，，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减．即在内单调递增，内单调递减，所以．（2）当时，，∴恒成立，当时，由（1）知，在内单调递减，（i）若，由（1）知，在内单调递减，则，无零点，不符合题意; （ii）若，设，，所以，又，所以存在，使得，即，① 且当故当时，有，当时，有，则在内单调递增，内单调递减，由于恒成立，且有唯一零点，∴．② 结合①，②知，③ 联立得设，则，，且当时，，所以在上有唯一零点．即满足方程组③的唯一，且．设，，所以在上单调递增，，即满足方程组③的，所以. 综上所述，存在即，使得恒成立且有唯一零点．

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考点分析：

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一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.